Основные сведения об эвольвентном зацеплении.

Уравнение эвольвенты.

Профиль боковых сторон зубьев зубчатых колес с эвольвентным зацеплением представляет собой две симметрич­но расположенные эвольвенты.

Эвольвента — это плоская кривая с переменным радиусом кривиз­ны, образованная некоторой точкой на прямой, обкатывающейся без скольжения по окружности, диаметром (радиусом) d_b(r_b), называемой основной окружностью.

На рис. 1, а показано построение эвольвенты, а на рис. 1, б — расчетная схема для определения координат точки М, находящейся на прямой ВМ. Из условия обката без скольжения ВМ = АВ.

Здесь ВМ — нормаль к эвольвенте и одновременно радиус ρ_м кри­визны эвольвенты в точке М; θ_м — угол, отсчитываемый от начала эвольвенты до точки М; v_м — угол развернутости эвольвенты; α_м — угол профиля эвольвенты в точке М (угол между касательной к эвольвенте и радиусом r_м).

Так как ВМ = АВ, то r_b ∙ tgα_м = r_b.v_M. Следовательно, v_м = tgα_м, θ_м = v_м — α_м и θ_м=tgα_м—α_м = invα_м.

Угол θ_м = invα_м называется инволютой или эвольвентным углом. В справочниках имеются специальные таблицы инволют: invα_м = f (α_м ).

Уравнение эвольвенты в полярных координатах на основании рис. 1 выглядит так:

Чтобы построить эвольвенту, нужно задать значение радиуса r_м не­которой точки М и при определенном радиусе основной окружности r_b найти значение cos α_м, а затем по углу α_м найти эвольвентный угол θ_м = inv α_м.

Уравнение эвольвенты можно записать также в декартовых коорди­натах X-Y. Из ΔОВМ следует, что

Координаты точки М, т.е. уравнение эвольвенты:

Радиус основной окружности r_b найдем для точки, лежащей на де­лительной окружности радиуса r = mz / 2 , в которой угол профиля стандартного эвольвентного зацепления α = 20°. Тогда из уравнения найдем, что

Характерной особенностью эвольвенты является переменность угла профиля α_м и радиуса кривизны ρ_м в каждой из ее точек.

Из рис.1, б следует, что

При z → ∞ ρ_м → ∞, то есть эвольвента превращается в прямую линию, которую можно рассматривать как частный случай эвольвенты. Отсюда следует, что характер эвольвентного зацепления не изменится, если колесо будет сцепляться с рейкой, имеющей z = ∞ и прямолиней­ный профиль зубьев с углом α=20°, то есть становится возможным на­резание эвольвентных колес инструментами реечного типа (гребенки, червячные фрезы) методом обкаточного огибания.

Основные параметры эвольвентного зацепления.

На рис. 2 показано зацепление двух зубчатых колес с эвольвентным профилем. Рассмотрим основные параметры зацепления, их определения и стандартные обозначения.

В отличие от при­нятого ранее, обозна­чение всех параметров производится строчными, а не заглавными буквами с индексами, указывающими их принадлежность коле­су, инструменту, типу окружности и виду сечения.

Стандартом преду­смотрены три группы индексов:

• первая группа: п, t, x — означает вид сечения, соответственно, нормальный, торцевой (окружной), осевой;

• вторая группа: a, f, b, w, y — означает, что параметр относится соответственно к окружностям выступов, впадин, основной, начальной и любой концентричной окружности. Для делительной окружности ин­декс не указывается;

• третья группа индексов: 1, 2, 0 — означает, что параметр относит­ся соответственно к шестерне, колесу, зуборезному инструменту.

Порядок использования индексов определяется номером группы, т.е. вначале предпочтение отдается индексам первой группы, затем вто­рой и т.д.

Некоторые индексы разрешается опускать в случаях, исключающих возникновение недоразумений или не имеющих применения по опреде­лению. Например, у прямозубых цилиндрических колес не используют­ся индексы первой группы. В ряде случаев некоторые индексы с целью сокращения записи также опускаются.

Рассмотрим зацепление двух прямозубых цилиндрических (рис. 2) колес: с меньшим числом зубьев (z₁), называемого шестер­ней, и с большим числом зубьев (z₂), называемого колесом; соответст­венно с центрами колес в точках О₁ и О₂. В процессе обката шестерни с колесом происходит качение без скольжения двух центроид — окружно­стей, соприкасающихся в полюсе зацепления — Р. Эти окружности на­зываются начальными, а их диаметры (радиусы) обозначаются с ин­дексом w: d_w1 (r_w1), d_w2 (r_w2). Для некорригированных колес эти окруж­ности совпадают с делительными окружностями, обозначение диамет­ров (радиусов) которых дается без индексов первой и второй групп, т.е. для шестерни — d₁(r₁), для колеса — d₂(r₂).

Делительная окружность — окружность, на которой шаг между зубьями и угол профиля равны им же на делительной прямой зубчатой рейки, сцепленной с колесом. При этом шаг P = πm — расстояние ме­жду двумя соседними одноименными сторонами профиля. Отсюда диа­метр делительной окружности колеса равен

d = Pz / π = mz

Модуль зуба m = P/ π — величина условная, имеющая размерность в миллиметрах (мм) и используемая как масштаб для выражения многих параметров зубчатых колес. В зарубежной практике в этом качестве используется питч — величина обратная модулю.

Основная окружность — это окружность, от которой образуется эвольвента. Все параметры, относящиеся к ней, обозначаются с индек­сом b, например, диаметры (радиусы) колес в зацеплении: d_b1 (r_b1), d_b2 (r_b).

Касательно к основным окружностям через полюс зацепления Р проходит прямая N—N, а ее участок N₁—N₂ называется линией зацепле­ния. По ней в процессе обката перемещается точка контакта сопрягае­мых профилей колес. N₁—N₂ называется номинальной (теоретической) линией зацепления, обозначаемой буквой g. Расстояние между точками пересечения ее с окружностями выступов колес называется рабочим участком линии зацепления и обозначается g_a.

В процессе обката зубчатых колес точка контакта профилей пере­мещается в пределах активного (рабочего) участка линии зацепления g_a, которая является нормалью к профилям обоих колес в этих точках и одновременно общей касательной к обеим основным окружностям.

Угол между линией зацепления и перпендикуляром к линии, соеди­няющей центры сопрягаемых колес, называется углом зацепления. У корригированных колес этот угол обозначается α_w12, для некорригированных колес α_w12 = α₀.

Межцентровое расстояние некорригированных колес

α_w12 = r_w1 + r_w2 = r₁ + r₂ = m(z₁ + z₂)/2.

Окружности выступов и впадин — окружности, проходящие соот­ветственно через вершины и впадины зубьев колес. Их диаметры (ра­диусы) обозначаются: d_a1(r_a1), d_f1(r_f1), d_a2(r_a2), d_f2(r_f2).

Шаги зубьев колес — P_t, P_b, P_n, P_x — это расстояния между одно­именными сторонами профиля, замеренные:

а)  по дуге делительной окружности в торцевом сечении — окружной (торцевый) шаг P_t = πd / z;

б)   по дуге основной окружности — основной шаг P_b = πd_b / z;

в)   по контактной нормали (линии зацепления) — основной нормаль­ный шаг Pbn;

г)   по нормали к направлению зубьев и по оси (у винтовых пере­дач) — нормальный шаг P_n и осевой шаг P_x.

Коэффициент перекрытия ε — отношение активной (рабочей) час­ти линии зацепления к основному нормальному шагу:

ε = g_a /P_bn

Окружная (торцевая) толщина зуба S_t — длина дуги делительной окружности, заключенная между двумя сторонами зуба. Толщина, из­меренная по хорде, обозначается как S.

Окружная ширина впадины между зубьями e — расстояние между разноименными сторонами профиля по дуге делительной окружности.

Высота головки зуба h_a — расстояние между окружностями высту­пов и делительной: h_a = r_a — r.

Высота ножки зуба h_f — расстояние между окружностями дели­тельной и впадин: h_f = r — r_f.

Высота зуба: h = h_a + h_f.

Рабочий участок профиля зуба — геометрическое место точек кон­такта профилей сопрягаемых колес, определяется как расстояние от вершины зуба до точки начала эвольвенты. Ниже последней следует переходная кривая.

Переходная кривая профиля зуба — часть профиля от начала эволь­венты, т.е. от основной окружности до окружности впадин. При методе копирования соответствует форме головки зуба инструмента, а при ме­тоде обкатки образуется вершинной кромкой режущего инструмента и имеет форму удлиненной эвольвенты (для инструментов реечного типа) или эпициклоиды (для инструментов типа колеса).

Другие параметры и обозначения будут приведены ниже по мере использования.

Понятие об исходном контуре рейки.

Как было показано выше, частным случаем эвольвенты при z = ∞ является прямая линия.

Это дает основание использовать в эвольвентном зацеплении рейку с прямобочными зубьями. При этом любое зубчатое колесо данного модуля независимо от числа зубьев может быть сцеплено с рейкой того же модуля. Отсюда возникла идея обработки колес методом обкатки. В зацеплении колеса с рейкой (рис. 3) радиус начальной окружности последней равен бесконечности, а сама окружность превращается в на­чальную прямую рейки. Линия зацепления N₁N₂ проходит через полюс P касательно к основной окружности колеса и перпендикулярно к боко­вой стороне профиля зуба рейки. В процессе зацепления начальная ок­ружность колеса обкатывается по начальной прямой рейки, а угол заце­пления становится равным углу профиля зуба рейки α.

Так как профиль зубьев рейки — прямая линия, это в значительной мере упрощает контроль линейных параметров зубьев и угла профиля. С этой целью стандартами установлено понятие исходного контура зубчатой рейки (рис. 4, а).

В соответствии со стандартами, принятыми в нашей стране для эвольвентного зацепления, исходный контур имеет следующие пара­метры зубьев в зависимости от модуля:

• угол профиля α = 20°;
• коэффициент высоты головки h_α* = 1;
• коэффициент высоты ножки h_f* = 1,25;
• коэффициент радиального зазора с^* = 0,25 или 0,3;
• коэффициент граничной (рабочей) высоты зуба h_L^* = 2;
• шаг зубьев P = πт;
• толщина зуба S и ширина впадины е: S = e = 0,5P = πт / 2.

Делительная прямая рейки проходит по середине рабочей высоты зуба h_L.

Для зуборезных инструментов основные параметры зубьев по ана­логии с изложенным выше задаются параметрами исходной инстру­ментальной рейки (рис. 4, б). Так как зубья режущего инструмента обрабатывают впадину между зубьями колеса и могут нарезать колеса с модифицированным (фланкированным) профилем, между названными исходными контурами имеются существенные различия, а именно:

1. Высота головки зуба исходной инструментальной рейки h_a0 = (h_f0* + c₀*)m = 1,25m, т.е. коэффициент высоты головки h_α0* = 1,25. Высота ножки зуба h_f0 = 1,25т , а полная высота зуба h₀ =h_a0 +h_f0 = 2,5m.
   
2. Если нарезаемое колесо имеет срез у головки (модифицирован­ный профиль), то ножка зуба инструментальной рейки должна иметь утолщение с параметрами h_ф0, α_ф0, n_ф0.

3. Толщина зуба у зубчатой рейки S = πт /2, а у инструментальной рейки при нарезании колес с модифицированным профилем зубьев

S₀ = πт/2 ± ΔS₀

Поправка ΔS₀ берется из справочников в зависимости от величины модуля зуба. Знак «+» берется для чистовых, а знак «-» — для черновых инструментов. В первом случае происходит утонение зубьев нарезаемо­го колеса с целью создания бокового зазора между зубьями сцепляемых колес, во втором случае утолщение, в результате чего нарезаемые зубья получают припуск на чистовую обработку.

У колес с обычным (немодифицированным) профилем зубьев изме­нение толщины нарезаемых зубьев можно получить путем смещения инструментальной рейки относительно центра колеса и утолщение ее зубьев у ножки не требуется.

Параметры зацепления корригированных зубчатых колес.

Корригирование (исправ­ление) колес дает возможность улучшить зубчатое зацепление по сравнению с нормальным зацеп­лением в отношении трения, из­носа и прочности зубьев, умень­шить вероятность подреза ножки зубьев при малом их числе и др.

Применительно к долбякам корригирование дает возмож­ность получения задних углов на режущих кромках (см. ниже).

Из известных методов корри­гирования на практике наиболь­шее применение нашло высот­ное корригирование, которое осуществляется путем смещения профиля исходной инструмен­тальной рейки относительно центра нарезаемого колеса. Такое смещение принято считать положительным, если рейка отводится от центра коле­са, и отрицательным, когда она приближается к его центру (рис. 5). Величина смещения оценивается произведением x₀∙m, где х₀ — коэффи­циент смещения.

При положительном смещении высота головки зуба нарезаемого колеса h’_a1 увеличивается на величину x₀∙m, а высота ножки h’_f1 уменьшается на ту же величину. При отрицательном смещении, на­оборот, высота головки зуба уменьшается, а высота ножки уве­личивается. Полная высота зуба колеса в обоих случаях остается неизменной, при этом положение делительной и основной окружностей колеса постоянно и не зависит от величины смещения, то неизбежно изменение толщины зуба нарезаемого колеса по делительной окружности из-за смещения делительной прямой рейки относительно начального положения на величину ±x₀m. Как видно из рис. 6, толщина зуба по делительной окружности у корригированного колеса при смещении рейки инструмента

S’_1,3= πm/2 ± 2ΔS = πт/2 ± 2x₀mtgα₀

где ΔS = x₀m tgα₀ .

Знак «+» берется при положительном, а знак «-» — при отрицательном смещении.

При расчетах зуборезных инст­рументов, например долбяков, зу­бья которых корригированы, воз­никает необходимость определения толщины зуба на окружности лю­бого радиуса — r_у, концентричной с делительной окружностью радиу­сом r.

Из рис. 7 и уравнения эволь­венты следует, что толщина зуба по окружности радиуса r_y в точке 2 равна

S_y = 2r_у∙ψ_у

где ψ_у = ψ — (invα_y — invα); ψ и ψ_у — углы между линией симметрии зуба и радиусами, проведенными в точке 1 на делительной окружно­сти и в точке 2 на окружности ра­диусом r_y; invα и invα_y — эвольвентные углы в этих точках.

Так как толщина зуба на дели­тельной окружности S‘₁ — величина известная, а угол ψ = S‘₁ /2r , то S_y можно определить по форму­лам:

для корригированных колес

S_y = 2r_y(S‘₁/2r + inv α — inv α_y)

для некорригированных колес при S = πm / 2

S_y = d_y (πm / 2d + inv α — inv α_y )

Здесь углы α и α_y, как следует из уравнения, определяются по следую­щим формулам: cosα = r_b /r, cosα_у = r_b /r_у.

На рис. 8 представлено зацепление двух колес с корригирован­ными зубьями. Его главная особенность заключается в том, что началь­ные окружности r_w1 и r_w2, проходящие через полюс зацепления Р, не совпадают с делительными окружностями r₁ и r₂. По этой причине угол зацепления α_w12 колес не равен углу профиля исходной рейки, толщины зубьев на делительной окружности меняются, а также меняются соот­ношение высот головок и ножек зубьев, диаметры окружностей высту­пов, впадин и межцентровое расстояние между колесами.

Угол зацепления a_w12 — это угол между линией зацепления N₁N₂ и перпендикуляром к прямой, соединяющей центры колес (для корриги­рованных колес α_w12≠α).

Формулу для расчета α_w12, а точнее inv α_w12, найдем в следующей последовательности:

1. Запишем уравнение для расчета толщин зубьев на начальной ок­ружности S_w1 и S_w2 для шестерни и колеса на основании формулы, сменив индекс y на w.

2. Сумма толщин зубьев колес, находящихся в зацеплении, равна шагу на начальной окружности:

S_w1+S_w2 = P_w12

Путем алгебраических преобразований найдем эвольвентный угол inv α_w12.

Толщины зубьев на начальных окружностях шестерни и колеса на основании уравнения

где r₁, r₂ — радиусы делительных окружностей (r₁ = mz₁ /2; r₂ = mz₂ /2);

S‘₁, S’₂ — толщины зубьев по делительным окружностям.

Шаг зубьев на начальных окружностях шестерни и колеса будет один и тот же:

P_w12 = 2πr_wl / z₁ = 2πr_w2 / z₂

Из уравнения следует, что

Подставим параметры:

2πr_w1 / z₁ = 2r_w1(S‘₁ / 2r₁ + inv α — inv α_w12) + 2r_w12z₂ / z₁ (S’₂/2r₂ + inv α- inv α_w12)

Сократим обе стороны равенства на 2_rw1 и умножим на z₁. В итоге полу­чим

π = S‘₁ / m + z₁ inv α — z₁ inv α_w12 + S’₂ / m + z₂ inv α — z₂ inv α_w12

После преобразования

(z₁ + z₂)inv α_w12 = (z₁ + z₂)inv α + S‘₁ /m + S’₂m — π

Отсюда

Из этого уравнения следует, что если колесо z₁ находится в зацепле­нии с инструментами реечного типа (червячная фреза, гребенка), у ко­торых z₂ = ∞, то второй член правой части уравнения превращается в нуль и угол зацепления передачи становится равным углу профиля ис­ходного контура рейки, т.е. α_w12 = α₀.

Для инструментов типа колеса (долбяк, шевер) уравнение желательно представить в виде зависимости inv α_w10 от величины сме­щения профиля пары корригированных колес z₁ и z₀. Для этого подста­вим значения S₁ и S₂, рассчитанные по формуле:

или после сокращений

где α₀ — угол профиля инструмента.

Межцентровое расстояние у корригированных колес

α_w12 = r_w1 + r_w2

Так как радиусы начальных окружностей равны

тогда

Номинальная длина линии зацепления (рис. 8):

g = N₁P+ N₂P = r_w1 sin α_w12 + r_w2 sin α_w12 = α_w12 sin α_w12

Длина активной части линии зацепления сопряженных колес равна расстоянию между точками пересечения линии зацепления ок­ружностями выступов шестерни и колеса (рис. 8):

Радиусы окружностей выступов и впадин у корригированного колеса с учетом смещения ±x₀m:

При этом высота зуба колеса h = h_α = h_ƒ от величины смещения профиля не зависит. Из-за разности знака у головки и ножки, т.е.

здесь и выше верхний знак ис­пользуется при положительном смещении, а нижний — при отрицатель­ном смещении профиля.

Возможен частный случай, когда пара «шестерня — колесо» или «колесо — инструмент» имеет одинаковые по величине, но обратные по знаку величины смещения (так называемое нулевое зацепление), тогда делительные окружности совпадают с начальными. Как следует из уравнения, в этом случае угол зацепления α_w12 = α, но меняются толщина зубьев по делительной окружности и соотношение высот голо­вок и ножек зубьев. В этом случае межцентровое расстояние равно

α_w12 = (d₁ +d₂)/2 = m(z₁ + z₂)/2.

Такая коррекция применяется при больших передаточных числах. При ней обычно положительное смещение берется для шестерни с це­лью увеличения прочности зубьев, т.е. имеет место только высотная коррекция.

При угловой коррекции шестерню и колесо изготавливают обычно с положительным смещением исходного контура. Угол зацепления у та­ких колес будет больше, чем у некорригированных (отсюда и название — «угловая коррекция»). Основное преимущество угловой коррекции пе­ред высотной состоит в том, что она дает возможность увеличить проч­ность зубьев как у шестерни, так и у колеса.

Если величина или знаки коррекции у нарезаемых колес не совпа­дают, то имеет место совмещение угловой и высотной коррекции одно­временно.